Sean los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) y \(\vec{d}\) tales que \(||\vec{a}||=5\), \(||\vec{b}||=6\), \(||\vec{c}||=2\sqrt{2}\) y \(\vec{d}\) es un vector unitario paralelo al vector \(\vec{c}\). Además, los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) forman un ángulo de \(60^{\circ}\), los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{c}\) forman un ángulo de \(45^{\circ}\) y los vectores \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son perpendiculares:
Parte a. Halle el valor de \(E=\left(\vec{a}+2\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}+\vec{c}\right)\)
Parte b. Calcule la longitud del vector \(\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\)
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Parte a.
$$\begin{aligned}E&=\left(\vec{a}+2\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}+\vec{c}\right)=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{c}\\ E&=||\vec{a}||^2+||\vec{a}||||\vec{c}||\cos(45^{\circ})+2||\vec{a}||||\vec{b}||\cos(60^{\circ})+2(0)\\ E&=5^2+5(2\sqrt{2})\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+2(5)(6)\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ E&=65\end{aligned}$$
Parte b.
Operamos a partir de \(||2\vec{a}+\vec{b}||^2\)
$$\begin{aligned}||2\vec{a}+\vec{b}||^2&=\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\left(2\vec{a}+\vec{b}\right)\\ ||2\vec{a}+\vec{b}||^2&=4\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\\ ||2\vec{a}+\vec{b}||^2&=4(5)^2+4(5)(6)\left(\dfrac{1}{2}\right)+6^2\\ ||2\vec{a}+\vec{b}||^2&=196\\ ||2\vec{a}+\vec{b}||&=\sqrt{196}\\ ||2\vec{a}+\vec{b}||&=14u\end{aligned}$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Álgebra Lineal de la Universidad de Lima.
Temas: Ángulo entre vectores, longitud de vectores, módulo de un vector, producto escalar, producto punto, vectores, vectores paralelos, vectores perpendiculares.
