Halle los valores de \(k\) para que los vectores \(\vec{a}=(8;k;4)\), \(\vec{b}=(3;1;k)\) y \(\vec{c}=(3;-2;4)\), sean linealmente independientes en \(\mathbb{R}^3\).
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Se calcula la determinante formada por las componentes de los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\). Por propiedad, para que los vectores sean linealmente independientes, dicha determinante debe ser igual a cero.
$$\begin{aligned}\left|\begin{array}{c}8 & k & 4\\ 3 & 1 & k\\ 3 & -2 & 4\end{array}\right|=0\end{aligned}$$
$$3k^2+4k-4=0$$
$$k=\dfrac{2}{3}\ \vee\ k=-2$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Álgebra Lineal de la Universidad de Lima.
Temas: Vectores en el espacio, vectores linealmente independientes, indepencia lineal de vectores, determinantes, matrices.
