En un paralelogramo de vértices \(A(4;2;3)\), \(B(4;8;3)\), \(C(3;10;5)\) y \(D(3;4;5)\) se traza la altura \(\overline{DH}\), donde \(H\) es un punto del segmento \(\overline{AB}\).
Parte a. Halle el vector \(\overrightarrow{Proy}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AD}\).
Parte b. Determine las coordenadas del punto \(H\) y la longitud de la altura \(\overline{DH}\).
Parte c. Halle el valor de \(Comp_{2\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{BC}\).
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
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SOLUCIÓN.
Parte a.
Operamos a partir de la definición de vector proyección ortogonal:
$$\begin{aligned}\overrightarrow{Proy}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AD}&=\left(\dfrac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||^2}\right)\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{Proy}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AD}&=\left(\dfrac{12}{36}\right)(0;6;0)\\ \overrightarrow{Proy}_{\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{AD}&=(0;2;0)\end{aligned}$$
Parte b.
Sea \(H(x;y,z)\), \(\overrightarrow{AH}=(x-4;y-2;z-3)=(0;2;0)\), es decir, \(H(4;4;3)\).
La altura \(\overline{DH}\) es \(d(D;H)=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=\sqrt{5}u\).
Parte c.
Operamos
$$\begin{aligned}Comp_{2\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{BC}&=\dfrac{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}}{||\overrightarrow{AB}||}\\ Comp_{2\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{BC}&=\dfrac{12}{6}\\ Comp_{2\overrightarrow{AB}}\overrightarrow{BC}&=2\end{aligned}$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Álgebra Lineal de la Universidad de Lima.
Temas: Paralelogramo, proyección ortogonal, vector componente, vector proyección, vectores en el espacio.
