Dada la función:
$$f(x)=-(2x-3)^2(3x-5)^3-\dfrac{6x+8}{\sqrt{2x^2+2x-8}}$$
Parte a. Utilice las reglas de derivación para hallar \(f'(x)\).
Parte b. Halle la ecuación de la recta normal al gráfico de \(f\) en el punto de abscisa \(x=2\).
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Parte a.
Derivando correctamente la función (aplicando derivada del producto y división, regla de la cadena y derivada de potencias) se tiene:
$$f'(x)=-\left[4(2x-3)(3x-5)^3+9(2x-3)^2(3x-5)^2+\dfrac{10x+56}{(2x^2+2x-8)^{3/2}}\right]$$
Parte b.
Por dato, la abscisa del punto de paso es \(x_0=2\).
La ordenada del punto de paso es \(y_0=f(x_0)=f(2)=-11\).
La pendiente de la recta tangente en este punto es \(m_T=f'(2)=-\dfrac{7}{2}\) y la pendiente de la recta normal es \(m_N=-\dfrac{1}{m_N}=\dfrac{2}{7}\).
Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es
$$\mathscr{L}_N:\ y+11=\dfrac{2}{7}(x-2)$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Matemática Aplicada a los Negocios de la Universidad de Lima.
Temas: Derivada de un producto de funciones, derivada de una división de funciones, derivada de una potencia, derivadas de funciones, ecuaciín de la recta tangente, ecuación de la recta normal, pendiente de la recta tangente, pendiente de la recta normal, regla de la cadena, reglas de derivación.
