A continuación, se muestra la representación gráfica de la función \(g\), la cual está constituida por dos tramos.
A partir de la información dada, determine:
Parte a.
La regla de correspondencia, el dominio y el rango de la función \(g\).
Parte b.
El mínimo valor de la función \(g\)
Parte c.
El valor de \(x\) donde la función \(g\) alcanza su máximo valor.
Parte d.
La cantidad de interceptos de la función \(g\) con los ejes coordenados, en caso de que estos existan.
Parte e.
El valor de \(g(4)\), en caso de que exista.
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Sean \(g_1(x)\) la parte lineal y \(g_2(x)\) la parte parabólica.
Parte a.
A partir de la gráfica, se reconoce que
$$g_1(x)=ax+b$$
$$\left\{\begin{array}{l}g(-5)=-5a+b=7\\ g(-4)=-4a+b=5\end{array}\right.$$
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales, se tiene
$$a=-2;\ b=-3$$
Así, la primera regla de correspondencia de la función es
$$g_1(x)=-2x-3$$
También para el punto \((p;q)\) satisface esta regla de correspondencia
$$q=-2p-3\qquad (*)$$
Para el otro tramo, la regla de correspondencia tiene la forma de la ecuación de una parábola:
$$g_2(x)=a(x-2)^2+8$$
Luego
$$g_2(x)=-(x-2)^2+8$$
De nuevo, para el punto \((p;q)\)
$$q=-(p-2)^2+8\qquad (**)$$
De (*) en (**), se tiene
$$-2p-3=-(p-2)^2+8$$
$$p^2-6p-7=0$$
$$(p+1)(p-7)=0$$
$$\left\{\begin{array}{l}p=-1\\ p=7\end{array}\right.$$
Según el gráfico, sólo tiene sentido \(p=-1\) y así \(q=-2(-1)-3=-1\), es decir, \((p;q)=(-1;-1)\).
Por lo tanto, la regla de correspondencia de la función \(g\), viene dada por
$$g(x)=\left\{\begin{array}{r}-2x-3;\ -5\leq x<-1\\ -(x-2)^2+8;\ -1\leq x<4\end{array}\right.$$
Del gráfico de la función, esu dominio y rango son
$$Dom(g)=[-5;4\rangle$$
$$Ran(g)=[-1;8]$$
Parte b.
A partir de la gráfica, se reconoce que el mínimo valor de la función es \(q=-1\).
Parte c.
A partir de la gráfica, se reconoce que el máximo valor de la función se alcanza cuando el valor de la \(x=2\).
Parte d.
Sólo nos importa la cantidad de interceptos con los ejes coordenados. A partir de la representación gráfica, se observa que hay 2 interceptos con el Eje X y 1 intercepto con el Eje Y, es decir, hay 3 interceptos con los ejes coordenados.
Parte e.
Como \(x=4\notin Dom(g)\), se deduce que \(g(4)\) no existe.
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Fundamentos de Matemática de la Universidad de Lima.
Temas: funciones por tramos, regla de correspondencia, dominio, rango, intersección con el Eje X, intersección con el Eje Y, intersecciones con los ejes coordenados.
