Como se muestra en la figura, la entrada a un parque de diversiones tiene la forma de una semicircunferencia con una base horizontal de 40 metros. Coloque un sistema de coordenadas bidimensional de tal forma que el origen de coordenadas se ubique en el punto medio de la base de la semicircunferencia y con el punto más alto de la entrada al parque de diversiones en el eje \(Y\).
Parte a.
Determine el radio, la longitud de la semicircunferencia y la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a la semicircunferencia.
Parte b.
A una distancia de 5 metros del extremo derecho de la entrada de la base, se piensa colocar una columna vertical. Determine la altura máxima de la columna, si ésta se coloca de forma perpendicular sobre la base. Considere el grosor de la columna despreciable.
Parte c.
Se desea colocar una viga horizontal de longitud \(L\) a 16 metros de altura sobre la base. Determine la longitud \(L\) de la viga. Considere el grosor de la viga despreciable.
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
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SOLUCIÓN.
Parte a.
Nos guiamos de la siguiente figura con los ejes del sistema bidimensional de acuerdo con lo requerido por el problema.
De donde se deduce que el radio es \(r=20m\). La longitud de la semicircunferencia es \(L=20\pi\) (la mitad de la longitud de la circunferencia completa que sería \(40\pi\)).
Y según nuestra figura, la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas, entonces la ecuación canónica es
$$x^2+y^2=20^2$$
Parte b.
Las coordenadas de los extremos de la columna son \(A(15;0)\) y \(B(15;k)\).
Como el punto \(B(15;k)\) pertenece a la circunferencia, entonces debe satisfacer su ecuación, es decir;
$$15^2+k^2=400$$
$$k=5\sqrt{7}m$$
Respuesta: La altura máxima de la columnas es \(5\sqrt{7}\) metros.
Parte c.
Uno de los extremos de la viga tiene por coordenadas \(C\left(\dfrac{L}{2};16\right)\).
Como el punto \(C\) pertenece a la circunferencia, entonces
$$\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+16^2=400$$
$$L=24$$
Respuesta: La longitud de la viga es 24 metros.
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Matemática para Arquitectura de la Universidad de Lima.
Temas: radio, longitud de la circunferencia, ecuación de la circunferencia, ecuación canónica de la circunferencia, aplicaciones de circunferencias.
