El salto de un saltamontes está descrito por la función \(f(t)=-t^2+12t\), donde \(f\) representa la altura en centímetros que alcanza el saltamontes a los \(t\) segundos.
A partir de la información dada, responda:
Parte a.
¿Qué altura alcanza el saltamontes a los 2 segundos?
Parte b.
¿A los cuántos segundos, el saltamontes alcanza su altura máxima?
Parte c.
¿Cuál es la altura máxima que alcanza el saltamontes?
Parte d.
¿A los cuántos segundos, el saltamontes vuelve a tocar el piso?
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Parte a.
Para determinar la altura que alcanza el saltamontes a los 2 segundos hay que evaluar la función \(f\) en \(t=2\), es decir
$$f(2)=-2^2+12(2)=-4+24=20$$
Respuesta: A los 2 segundos, el saltamontes alcanza una altura de 20 cm.
Parte b.
Como \(f\) es una función cuadrática con coeficiente principal negativo, su gráfica es una parábola, entonces las coordenadas de su vértice \((h,k)\) nos indican: \(h\) es el tiempo en alcanzar la altura máxima y \(k=f(h)\) es la altura máxima.
Así
$$h=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{12}{-2}=6$$
Respuesta: A los 6 segundos, el saltamontes alcanza su altura máxima.
Parte c.
Evaluamos \(k=f(6)\)
$$k=-6^2+12(6)=36$$
Respuesta: La altura máxima que alcanza el saltamontes es 36 cm.
Parte d.
Para determinar a los cuántos segundos el saltamontes vuelve a tocar el piso, es decir, cuando su altura vuelve a ser cero, \(f(t)=0\).
$$-t^2+12t=0$$
$$t(12-t)=0$$
$$t=0\ \vee\ t=12$$
Respuesta: El saltamontes vuelve a tocar el piso a los 12 segundos.
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Fundamentos de Matemática de la Universidad de Lima.
Temas: funciones cuadráticas, aplicación de funciones, vértice de una parábola, máximo de una función cuadrática.
