Dados los puntos del plano cartesiano \(A(-4;7)\), \(B(2;-5)\) y \(C(6;3)\), determine:
Parte a.
Las coordenadas del punto \(P\), siendo \(P\) la proyección del punto \(B\) sobre el eje de ordenadas.
Parte b.
Las coordenadas del punto \(Q\), siendo \(Q\) el simétrico del punto \(A\) con respecto al eje de abscisas.
Parte c.
La longitud de la mediana relativa al lado \(BC\) en el triángulo \(ABC\).
Parte d.
La ecuación de la recta en la forma general que pasa por los puntos \(A\) y \(C\).
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
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SOLUCIÓN.
Parte a.
La proyección del punto \(B(2;-5)\) sobre el eje de ordenadas es \(P(0;-5)\)
Parte b.
El simétrico del punto \(A(-4;7)\) con respecto al eje de abscisas es \(Q(-4;-7)\)
Parte c.
Nos guiamos de la figura de referencia.
Sea \(M\) el punto medio del lado \(BC\), por fórmula las coordenadas del punto medio son la semisuma de las coordenadas de los extremos, es decir:
$$M\left(\dfrac{2+6}{2};\dfrac{-5+3}{2}\right)\Rightarrow M(4;-1)$$
La longitud de la mediana \(AM\) es, por fórmula de distancia entre dos puntos:
$$\begin{aligned}d(A;M)&=\sqrt{(4-(-4))^2+(-1-7)^2}\\ d(A;M)&=8\sqrt{2}u\end{aligned}$$
Parte d.
Primero encontramos la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A(-4;7)\) y \(C(6;3)\), por fórmula la pendiente es diferencia de ordenadas sobre diferencia de abscisas:
$$m_{AC}=\dfrac{3-7}{6-(-4)}\Rightarrow m_{AC}=-\dfrac{2}{5}$$
Usamos como punto de paso el punto \(C(6:3)\) para generar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, luego operamos hasta obtener la ecuación de la recta en la forma general:
$$y-3=-\dfrac{2}{5}(x-6)$$
$$5(y-3)=-2(x-6)$$
$$2x+5y-27=0$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Matemática para Arquitectura de la Universidad de Lima.
Temas: Plano cartesiano, coordenadas de puntos, proyección sobre ejes coordenados, proyección sobre el eje de abscisas, proyección sobre el eje de ordenadas, punto simétrico con respecto al eje de abscisas, punto simétrico con respecto al eje de ordenadas, punto medio, ecuación de la recta, ecuación general de la recta, ecuación punto-pendiente de la recta.
