A continuación, se muestra la representación gráfica de la función cuadrática \(f(x)=-3x^2+bx+c\)
A partir de la información dada, determine:
Parte a.
El dominio de la función \(f\)
Parte b.
El rango de la función \(f\)
Parte c.
El valor de \(b-8c\)
Parte d.
Las coordenadas de los puntos de intersección de la función \(f\) con los ejes coordenados, en caso de que estos existan.
Parte e.
El valor de \(2f\left(\dfrac{1}{2}\right)-4f(1)\)
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Parte a.
A partir de la gráfica, se reconoce que
$$Dom(f)=\left[0;\dfrac{3}{2}\right\rangle$$
Parte b.
A partir de la gráfica, se reconoce que
$$Ran(f)=\langle -1;2]$$
Parte c.
A partir de la gráfica, se reconoce que
$$f(0)=-3(0)^2+b(0)+c=\dfrac{5}{4}$$
$$c=\dfrac{5}{4}$$
Y del vértice
$$h=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}$$
$$-\dfrac{b}{2(-3)}=\dfrac{1}{2}$$
$$b=3$$
Así, \(b-8c=3-8\times\dfrac{5}{4}=-7\)
Parte d.
A partir de la gráfica, se reconoce que el intercepto con el Eje Y es el punto \(\left(0;\dfrac{5}{4}\right)\).
Para encontrar el intercepto con el Eje X
$$y=f(x)=0$$
$$-3x^2+3x+\dfrac{5}{4}=0$$
Resolviendo por fórmula general:
$$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3-2\sqrt{6}}{6}\cong -0.32\notin\ Dom(f)\\ x=\dfrac{3+2\sqrt{6}}{6}\cong 1.32\in\ Dom(f)\end{array}\right.$$
Así, el intercepto con el Eje X es el punto \(\left(\dfrac{3+2\sqrt{6}}{6};0\right)\)
Parte e.
Sólo hay que evaluar la función
$$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2$$
$$f(1)=\dfrac{5}{4}$$
Por lo tanto
$$2f\left(\dfrac{1}{2}\right)-4f(1)=4-5=-1$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Fundamentos de Matemática de la Universidad de Lima.
Temas: funciones cuadráticas, parábolas, dominio, rango, fórmula general, evaluar una función, intersección con el Eje X, intersección con el Eje Y, intersecciones con los ejes coordenados.
