Determine la forma binomial del siguiente número complejo
$$z=(3-i)^2+3i^3-\dfrac{2+i}{3-i}$$
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Vamos a operar por partes:
$$\begin{aligned}(3-i)^2&=9-6i+i^2\\ &=9-6i-1\\ &=8-6i\end{aligned}$$
$$i^3=-i$$
$$\begin{aligned}\dfrac{2+i}{3-i}&=\dfrac{2+i}{3-i}\times\dfrac{3+i}{3+i}\\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\end{aligned}$$
En el último paso, se ha multiplicado por la conjugada (complejo conjugado) del denominador.
De esta manera:
$$\begin{aligned}z&=8-6i+3(-i)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\\ z&=\dfrac{15}{2}-\dfrac{19}{2}i\end{aligned}$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Matemática Básica de la Universidad de Lima.
Temas: Conjugada de números complejos, división de números complejos, potencias de números complejos, números imaginarios.
