Calcule el siguiente límite
$$\lim_{x\to 3}\dfrac{x^4-4x^3-2x^2+23x-24}{\sqrt{x^2+5x+1}-5}$$
ASESORÍAS EN MATEMÁTICAS ULIMA
Clases virtuales para todos los cursos de matemáticas de Estudios Generales de la Universidad de Lima: Matemática Básica, Fundamentos de Matemática, Álgebra Lineal, Cálculo I, Matemática Aplicada a los Negocios, Estadística Básica para los Negocios, Matemática para Arquitectura.
SOLUCIÓN.
Sea el límite \(L\), es decir:
$$L=\lim_{x\to 3}\dfrac{x^4-4x^3-2x^2+23x-24}{\sqrt{x^2+5x+1}-5}$$
Se debe notar que este límite es de la forma indeterminada \(\frac{0}{0}\). Así, para levantar la indeterminación, se factoriza el numerador y se racionaliza el denominador:
$$\begin{aligned}L&=\lim_{x\to 3}\dfrac{x^4-4x^3-2x^2+23x-24}{\sqrt{x^2+5x+1}-5}\\ L&=\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)(x^3-x^2-5x+8)}{\sqrt{x^2+5x+1}-5}\left[\dfrac{\sqrt{x^2+5x+1}+5}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}\right]\\ L&=\dfrac{(x-3)(x^3-x^2-5x+8)(\sqrt{x^2+5x+1}+5)}{x^3+5x-24}\\ L&=\dfrac{(x-3)(x^3-x^2-5x+8)(\sqrt{x^2+5x+1}+5)}{(x+8)(x-3)}\\ L&=\dfrac{(x^3-x^2-5x+8)(\sqrt{x^2+5x+1}+5)}{x+8}\\ L&=10\end{aligned}$$
Nota: Este problema solucionado fue del Examen del curso de Cálculo I de la Universidad de Lima.
Temas: Factorizar, límites, límites indeterminados, propiedades de límites, racionalizar.
